mcd(a,b,c) = mcd(a,mcd(b,c))

Sea r = mcd(b,c). Por definición, r|b, r|c y cualquier número p que divida a b y c es tal que p|r (1). Sea d = mcd(a,mcd(b,c)) = mcd(a,r). De nuevo por definición, d|a y d|r, y cualquier número e que divida a a y r es tal que e|d (2). Como r|b y r|c, por transitividad d|r implica que d|b y d|c. (3)

Sea q un número que divide a a, b y c. En particular, q divide a b y c, luego por (1), q|r. Ahora tenemos que q|a y q|r, luego por (2), r|d. (4).

Por (3) tenemos que d divide a a, b y c, y por (4) tenemos que cualquier numero q que divida a a, b y c, también va a dividir a d. De esto sigue que d es el mcd entre a b y c. mcd(a,b,c) = mcd(a,mcd(b,c)).

Nota: a|b se lee "a divide a b" y quiere decir que b es múltiplo de a.